TRIGONOMETRÍA

Es la parte de la matemática que estudia las relaciones entre ángulos y lados de un triángulo.

MEDIDA DE ÁNGULOS

Los ángulos se miden en forma sexagesimal en grados, minutos y segundos partiendo de la base que una circunferencia tiene 360º. Un grado es igual a 60 minutos (1º = 60') y un minuto es igual a 60 segundos (1' = 60'').

También se pueden medir los ángulos en radianes cuya medida es igual a la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio.

            

EJEMPLO:

 a)  Si una puerta se abre 2.5 radianes, esto quiere decir:

 Sabiendo que 180º equivalen a 3.14 radianes, entonces:

 Grados = 2.5 x (180 º/ 3.14) = 143.2º

 La puerta se abrió 143.2º

 b) Si ahora se abre a 125º , entonces,

 Conociendo que 3.14 radianes equivalen a 180º, entonces:

 Radianes = 125º x ( 3.14/ 180º) =  2.18 rad.

 La puerta se abrió un ángulo equivalente a 2.18 radianes

 PROBLEMA

  1. suponga que de las 8 AM a las 12 M el sol avanza en el espacio un ángulo de 1.5 radianes. ¿A cuánto corresponde este valor en grados?
  2. Un trompo gira 100 vueltas y 60º. ¿A qué equivale este valor en radianes?

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

El triángulo OAB es un triángulo rectángulo porque tiene un ángulo de 90º en el vértice A. Se usará este triángulo para definir las funciones  trigonométricas respecto al ángulo a.

               

En un triángulo rectángulo (aquél que tiene un ángulo de 90º), sena  es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, cosa  el la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa y la tana es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. 

EJEMPLO

   

Usando Scilab:

 -->// hipotenusa=5.3 cateto opuesto=2.8

 -->c=5.3;

 -->b=2.8;

 -->// cateto adyacente

 -->a=sqrt(c^2- b^2)

 a  =

     4.5 

 -->// angulo en radianes

 -->alfa=asin(b/c);

 -->// funciones trigonométricas

 -->sin(alfa)

 ans  =

     0.5283019 

 -->cos(alfa)

 ans  =

     0.8490566 

 -->tan(alfa)

 ans  =

     0.6222222 

-->cotg(alfa)

 ans  =

     1.6071429 

 -->sec(alfa)

 ans  =

     1.1777778 

 -->csc(alfa)

 ans  =

     1.8928571  

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

 FUNCIÓN SENO:

 Usando la calculadora complete la siguiente tabla y compruebe la siguiente gráfica para el seno.

 

Usando Scilab:

 -->clf

 -->alfa=[0:30:360];

 -->alfar=alfa*%pi/180;

 -->y=sin(alfar);

 -->plot(alfa,y)

 -->xgrid

 -->xtitle('FUNCION SENO')

      

Cómo puede describir la forma de onda de la función seno? ¿A qué es igual el seno de 0º, 90º, 180º, 270º, 360º?

 FUNCIÓN COSENO:

 Usando la calculadora complete la siguiente tabla y compruebe la siguiente gráfica para el coseno.

Usando Scilab:

 -->clf

 -->y=cos(alfar);

 -->plot(alfa,y)

 -->xgrid

 -->xtitle('FUNCION COSENO')

         

Cómo puede describir la forma de onda de la función coseno? ¿A qué es igual el coseno de 0º, 90º, 180º, 270º, 360º?

 FUNCIÓN TANGENTE:

Usando la calculadora complete la siguiente tabla y compruebe la siguiente gráfica para la tangente.

 Usando Scilab:

 -->// se requiere mucho más puntos

 ->alfa=[0:0.1:360];

 -->alfar=alfa*%pi/180;

 -->y=tan(alfar);

 -->plot2d(alfa,y,3,rect=[0 -20 360 20])

 -->xgrid

 -->xtitle('FUNCION TANGENTE')

       

¿Cómo puede describir la forma de onda de la función tangente?

¿A qué es igual la tangente de 0º, 90º, 180º, 270º, 360º?

 PROBLEMA:

 Graficar la función y = 3sen(2x).


FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Las funciones trigonométricas inversas corresponden a los ángulos que las funciones trigonométricas tienen un determinado valor, por ejemplo:

Si el seno de un ángulo es igual a 0.866, esto es, sen α = 0.866, entonces para determinar su ángulo,  se hace,

 a = arc sen 0.866 = sen – 1 0.866 = 60º, esto quiere decir que:

 sen 60º = 0.866

 arc sen(x) = sen -1(x)  es la función trigonométrica inversa del seno.

 Así mismo existen para las demás funciones trigonométricas: 

Para medir la altura del árbol se hace la reflexión o método trigonométrico como se indica en la figura. si se miden las distancias a y b de la figura y la distancia x del árbol, hallar la altura y del árbol.

 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

 Algunas identidades trigonométricas importantes son:

 (1)  cos a =    sen (90 - a)

 Ejemplo: cos(35) = sen(90-35) = sen(55)

 Utilizando calculadora: cos 35 = 0.8191 y sen 55 = 0.8191

(2) sen a = cos (90 - a)

Ejemplo: sen(40) = cos(90- 40) = cos(50)

Utilizando calculadora: sen 40 = 0.6427 y cos 50 = 0.6427

(3) sen a = sen (180 -a)

 Ejemplo: sen(120) = sen(180- 60) = sen(60)

 Utilizando calculadora: sen 120 = 0.8660 y sen 60 = 0.8660

(4) -cos a = cos (180 - a)

Ejemplo: cos(120) =  cos(180-60) = - cos(60)

Utilizando calculadora: cos 120 = - 0.5 y – cos 60 = - 0.5

(5) sen 2a = 2 sena cosa

 Ejemplo: sen(60) = sen(2x30) = 2sen(30) cos(30)

 Utilizando calculadora:

 Sen 60 =  = 0.8660 = 2(0.5) (0.8660) = 0.8660

 (6) sen (a + b) = sen a cos b+ cos a sen b

Ejemplo: sen(90) = sen(30+60) = sen(30) cos(60) + cos(30) sen(60)

Utilizando calculadora:

sen 90 = 1 = (0.5)(0.5) + (0.8660)(0.8660)  = 0.25 + 0.75 = 1

 (7) cos (a + b) = cos a cos b- sen a sen b

 Ejemplo: cos (90) = cos(30+60) = cos(30) cos(60) - sen(30) sen(60)

 Utilizando calculadora:

 cos 90 = 0 = (0.8660)(0.5) - (0.5)(0.8660) = 0.4330 - 0.4330 = 0

  (8) tan (a + b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a tan b)

  Ejemplo: tan 120 = tan(80+40) = (tan 80 + tan 40) / ( 1 - tan 80 tan 40 )

 Utilizando calculadora:

 tan 120 = - 1.7305 =  ( 5.6712 + 0.8391) / (1 – 5.6712x0.8391)

             = 6.5103 / ( 1 - 4.7587 ) = 6.5103 / (- 3.7587) = - 1.7305

 (9)  tan α = sen α / cos α

 Ejemplo: tan 30 = sen 30 / cos 30 = 0.5 / 0.866 = 0.5774

 (10) sen(- α) = - sen (α)    Ej: sen(-30) = - sen(30) = - 0.5

 cos(- α) =  cos (α)     Ej: cos(-30) =  cos(30) =  0.866

tan(-α) = - tan (α)      Ej: tan(-30) = - tan (30) =  - 0.5774

 PROYECTO:

 Dibuje sobre papel cuadriculado la siguiente figura con las dimensiones: AB = 8.6 cm, BC = 9.0 cm, CD = 5.9 cm, DA = 4.1 cm. Calcular los ángulos internos: DAB, ABC, BCD y CDA. Compruébelo usando un medidor de ángulos